ФЭНДОМ


Prime Эта статья является статьёй проекта «Простые числа»
Вы можете помочь проекту, развив и дополнив её.
Wikipedia Это — материал из Википедии.


Основная теорема арифметики утверждает:

Каждое натуральное число $ n>1 $ представляется в виде $ n=p_1\cdot\dots\cdot p_k $, где $ p_1,\dots,p_k $ — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число $ n $ единственным образом представимо в виде

$ n = p_1^{d_1} \cdot p_2^{d_2} \cdot \dots \cdot p_k^{d_k}, $ где $ p_1 < p_2 < \dots < p_k $ — простые числа, и $ d_1,\dots,d_k $ — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа $ n $ называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия Править

  • Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство Править

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Если простое число $ p $ делит без остатка произведение двух целых чисел $ x \cdot y $, то $ p $ делит $ x $ или $ y $.


Существование. Пусть $ n $ — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если $ n $ составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, $ n $ тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть $ n $ — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть $ p $ — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если $ p $ входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на $ p $ и получить два разных разложения числа $ n/p $, что невозможно. А если $ p $ не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на $ p $, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

История Править

В «Началах» Евклида эта теорема отсутствует. Вероятно тогда (и позднее) она воспринималась как самоочевидный факт. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году.