ФЭНДОМ


Wikipedia Это — материал из Википедии.

В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка Править

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если $ x $ — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма $ \textstyle\bigcup x $ есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов $ x $. Предположим теперь, что $ \Omega $ — множество всех порядковых чисел. Тогда $ \textstyle\bigcup \Omega $ — порядковое число, большее или равное любому из чисел в $ \Omega $. Но тогда и $ \textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1 $ — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в $ \Omega $. Но это противоречит условию, по которому $ \Omega $ — множество всех порядковых чисел.

История Править

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех $ x $ таких, что $ P $» ($ \{x \mid P\} $).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия $ P $, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя-Бернайс позволяется образование терма $ \{x \mid P\} $ для произвольных $ P $, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а собственно классом.